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Une nouvelle méthode numérique pour résoudre des EDP en domaines non bornés
(sans troncature et sans maillage)

$$ \def\R{{\mathbb R}} \def\Sd{{\mathbb S}^d} \def\Sds{\Sd_\star} \def\Sone{{\mathbb S}^1} \def\Stwo{{\mathbb S}^2} \def\Sthree{{\mathbb S}^3} \def\dps{\displaystyle} \newcommand{\combi}[2]{\dps{ \left(\begin{array}{c} #1\\ #2 \end{array}\right) } } \def\YY{{\mathscr Y}} \def\ww{{\small {\mathscr W}}} \def\wei{w} $$ Dans cette section, je vais exposer le principe général d'une nouvelle méthode numérique pour résoudre des équations aux dérivées partielles dans des domaines infinis tels que l'espace $\R^d$ tout entier, le demi-espace ou les domaines extérieurs. Cette méthode est sans troncature, sans maillage.

Prenons dès à présent comme exemple (volontairement simplifié ici) l'équation aux dérivées partielles elliptique linéaire standard $$ - \sum_{i, j=1}^d \frac{\partial }{\partial x_i} a_{ij} (x) \frac{\partial u}{\partial x_j}(x) = f(x), \; x \in \R^d, \; \; \; \; (E) $$ où $a_{i, j}$ , $1 \leqslant i, j\leqslant d$, sont des coefficients variables et $f$ une fonction donnée.
On considérera que cette équation est posée dans tout l'espace tout entier $\R^d$ où $d \geqslant 2$.

Cette équation doit être complétée par une condition à l'infini c'est-à-dire quand $|x| \to +\infty$. Sommairement, une telle condition peut s'écrire $$ \lim_{|x| \to +\infty} u(x) = 0. $$ On ré-écrira cette condition proprement un petit peu plus tard. Ce qui nous intérèsse ici c'est approcher numériquement la solution $u$. Bien évidemment, la difficulté principale est le caractère non borné du domaine géométrique.

Une première méthode que j'ai proposée est la méthode des éléments finis inversés. C'est une méthode qui n'utilise aucune troncature du domaine géométrique (qui reste donc non borné) et qui s'est avérée efficace même quand les coefficients varient à grandes distances et jusqu'à l'infini

Dans la publication:

T. Z. Boulmezaoud et al., Rational approximation of multi-dimensional elliptic problems in the whole space, Mathematical Modelling and Numerical Analysis (M2AN), 50 2 (2016), p. 311-336.

on propose une autre méthode qui ne repose pas non plus sur une troncature du domaine. De plus, elle ne nécessite aucun maillage. Cette méthode dont le principe ressemble à celui d'une méthode spectrale utilise les fonctions de Arar-Boulmezaoud.
Soulignons dès à présent qu'en général les méthodes spectrales employées en domaines bornés ne sont pas utilisables en domaines non bornés; en effet, les polynômes par exemple ne décroissent pas à l'infini (ils croissent et tendent vers $+\infty$).

Considérons l'espace de Sovolev à poids $W^1_\wei(\R^d)$ composé de toutes les fonctions vérifiant au sens des distributions $$ \int_{\R^d} \wei(x) |v(x)|^2 dx < \infty, \; \int_{\R^d} |\nabla v (x)|^2 dx < \infty, $$ où $\wei$ est le poids défini par $$ \wei(x) = \left\{ \begin{array}{lll} \dps{ \frac{1}{|x|^2 + 1} }&\mbox{ si } & d\ne 2, \\ \dps{ \frac{1}{(|x|^2 + 1) (\log(2+|x|^2))^2} } & \mbox{ si } & d= 2. \end{array} \right. $$ où on a noté $|x| = (x_1^2+\cdots+x_d^2)^{1/2}$ pour tout $x = (x_1,\cdots, x_d)\in \R^d$. Cet espace, doté de sa norme naturelle, est un Hilbert.

Supposons maintenant que $f$ est une fonction mesurable vérifiant $$ \int_{\R^d} \frac{ |f(x)|^2}{\wei(x)} dx < +\infty. $$ et que $(a_{ij})_{1 \leqslant i, j \leqslant d} \in L^{\infty}(\R^d)^{d \times d}$ vérifie l'hypothèse usuelle d'ellipticité usuelle: $\exists \alpha > 0$ telles que $$ \forall \xi = (\xi_1,...,\xi_d) \in \R^d, \; \sum_{i, j=1}^d a_{i, j}(x) \xi_i \xi_j \geqslant \alpha |\xi|^2, \mbox{ p. p. dans } \R^d. $$ Dans ce cas, le problème s'écrit sous la forme variationnelle: trouver $u$ dans $W^1_\wei(\R^d)$ tel que \begin{equation}\label{elliptic_wholesp} \forall v \in W^1_\wei(\R^d), \; {\mathscr A}(u, v) = \int_{\R^d} fvdx, \; \; \; \; (P) \end{equation} où $$ {\mathscr A}(u, v) = \dps{ \sum_{i, j=1}^d \int_{\R^d}a_{i, j}(x) \frac{\partial u}{\partial x_i}(x)\frac{\partial v}{\partial x_j}(x) dx} $$ En utilisant une inégalité de type Hardy appropriée, on montre que ce problème est $(P)$ bien posé.

Pour approcher la solution de ce problème, on considère pour tout entier $N \geqslant 0$, l'espace $H^d_N$ des fonctions de la forme $$ v(x) = \sum_{k=0}^N \frac{p_k(x)}{(\|x\|^2+1)^{(2k+d-2)/2}}, \; x \in \R^d, $$ où, pour tout $k \leqslant N$, $p_k$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à $k$.

On a $$ H^d_0 \subset H^d_1 \subset H^d_2 \subset \cdots \subset H^d_N \subset \cdots $$ On montre facilement la formule $$ {\rm dim}\, H^d_N = \dps{\combi{d+N}{d} + \combi{d+N-1}{d} }. $$ Le problème discret s'écrit: trouver $u_N \in H^d_N$ tel que $$ \forall v_N \in H^d_N \; \; \ {\mathscr A}(u_N, v_N) =\int_{\R^d} fv_N dx,\; \; \; \; (P_N) $$ où $N \geqslant 1$ est un entier destiné à tendre vers $+\infty$.

Théorème Pour tout $N \geqslant 1$, le problème discret (P_N) admet une et une seule solution. De plus, si $u \in H^{k+1}_{loc}(\R^d)$ est décroît suffisamment à grandes distances alors il existe une constante $C > 0$ indépendante de $N$ telle que $$ \|u - u_N\|_{W^1_\wei(\R^d)} \leqslant C(u) N^{-k}. $$

La condition de décroissance suffisante à grandes distances est explicitée dans la publication ci-dessus.

On note que ce problème discret se ramène à un système linéaire de la forme $A_N U_N = B_N$.

Sachant que les fonctions de Arar-Boulmezaoud forment une base de $H^d_N$ orthogonale pour le produit scalaire $L^2$ des gradients, on obtient le résultat suivant

Théorème On se place dans le cas de l'équation de Poisson $-\Delta u = f$. En utilisant les fonctions $(\ww_{\ell, m})_{0 \leqslant \ell \leqslant N, \; 1 \leqslant m \leqslant \alpha_\ell}$ comme base de $H^d_N$, la matrice $A_N$ obtenue est diagonale.

Ces deux résultats montrent l'efficacité de cette méthode, sa convergence ainsi que l'utilité des fonctions $(\ww_{\ell, m})_{0 \leqslant \ell \leqslant N, \; 1 \leqslant m \leqslant \alpha_\ell}$: pour le problème de Poisson la matrice obtenue est diagonale peu importe la dimension!!!

La méthode a été implementée avec succès en dimension $1$, en dimension $2$ et en dimension $3$. D'autres publications sont en cours de préparation. Mais il reste beaucoup à faire!