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Méthodes des éléments finis inversés
(MEFI)

Dans les dernières décennies, beaucoup de recherches ont été dédiées à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles dans régions non bornés de ${\mathbb R}^n$. De tels problèmes proviennent de plusieurs domaines de l'ingénierie ou de la physique, tels que l'acoustique, l'éléctromagnétisme, l'astrophysique, la mécanique des fluides, la chimie quantique et les bio-mathématiques.
 

La Méthode des éléments finis inversés (MEFI) est une méthode générale que j'ai introduite pour résoudre des équations ou systèmes d'équations aux dérivées partielles (elliptiques) posés en domaines non bornés. Les principes de cette méthode et son l'analyse de sa convergence sont exposés dans l'article

Tahar Z. Boulmezaoud, Inverted Finite Elements : a new method for solving elliptic problems in unbounded domains, Mathematical Modelling and Numerical Analysis, vol. 39 No. 1, p. 109-146 (2005).

Plusieurs publications parues ou en cours de préparation prouvent que la méthode s'adapte avec facilité et avec beaucoup de succès à de nombreux problèmes. Elle permet en effet de s'affranchir de toute troncature du domaine.


L'une des principales difficultés dans la résolution de problèmes posés en domaines non bornes est la prise en compte du comportement à grandes distances des solutions, c'est-à-dire quand $|x| \to +\infty$.
 

Partant du constat que beaucoup d'équations aux dérivées partielles en domaines non bornés peuvent être formulées convenablement dans un espace de Sobolev avec poids, la méthode des éléments finis inversés consiste à construire une approximation appropriée à l'intérieur de ces espaces. Les avantages et les atouts de la méthode sont multiples.

• une méthode sans troncature: le domaine géométrique de résolution numérique reste non borné!
  
  
• absence de toute frontière artificielle (et de toute condition aux limites artificielle)
  
  
• possibilité d'avoir des frontières non bornés (comme dans les demi-espaces, etc)
  
  
• possibilités de résoudre des équations dont les coefficients varient à grandes distances (et varient jusqu'à l'infini)
  
  
• une méthode nécessitant peu d'informations sur le comportant de la solution à l'infini (la condition de comportement à l'infini est prise en compte à travers l'appartenance à un espace de Sobolev à poids)
  
  
• l'analyse numérique de l'erreur d'interpolation est concluante et prouve la convergence de l'erreur d'interpolation
  
  
• facilité de mise en oeuvre. : à l'exception de quelques particularités, l'implémentation dans son ensemble s'implémente comme la méthode des éléments finis en domaines bornés
  
  
• faibles tailles des systèmes linéaires qui en résultent (matrices creuses de de tailles comparables à celles issues des méthodes des éléments finis dans des domaines bornés de diamètre non destiné à augmenter)
  
  
• indépendance des principes de la méthode et son formalisme par rapport au problème traité
• implémentée en 1D, 2D et 3D, la méthode montre une excellente efficacité, même quand les données et la solution décroissent mal à l'infini (voire même croissante).

La méthode a été implémentée pour la résolution de plusieurs problèmes, dont certains sont issues de la physique. On peut citer des problèmes de micromagnétisme, de mécanique quantique (équation de Schrödinger), en chimie quantique, en mécanique fluide, en électrostatique, en magnétostatique, en électromagnétisme.