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De nouvelles fonctions spéciales multidimensionnelles

$$ \def\R{{\mathbb R}} \def\Sd{{\mathbb S}^d} \def\Sds{\Sd_\star} \def\Sone{{\mathbb S}^1} \def\Stwo{{\mathbb S}^2} \def\Sthree{{\mathbb S}^3} \def\dps{\displaystyle} \newcommand{\combi}[2]{\dps{ \left(\begin{array}{c} #1\\ #2 \end{array}\right) } } \def\YY{{\mathscr Y}} \def\ww{{\small {\mathscr W}}} $$ Avec Nouria Arar (université de Constantine, Algérie), on a découvert une famille de fonctions rationnelles multidimensionnelles aux propriétés particulièrement magnifiques.

La découverte de ces fonctions a débouché sur la conception d'une méthode numérique pour les domaines non-bornés (notamment tout l'espace ${\mathbb R}^d$). Le potentiel de cette méthode est loin d'être exploré.

Un autre exemple d'utilisation de ces fonctions est une nouvelle formule explicite pour calcul ou approcher le champ démagnétisant en micromagnétisme (Boulmezaoud, 2023).

(le rapporteur de l'un des articles sur le sujet nous a suggéré de les appeler les fonctions de Arar-Boulmezaoud).

Découvrons de quoi il s'agit:

Dans toute la suite $d \geqslant 1$ désigne un entier fixé. Avant de définir ces fonctions sur $\R^d$, on a besoin de quelques notations

• Pour tout entier $\ell \geqslant 0$, ${\mathbb H}^d_{\ell}$ désigne l'espace des harmoniques sphériques de dégré $\ell$ définie sur la sphère unité $\Sd := \{ x \in \R^{d+1} \mid \|x\|=1\}$ (on rappelle qu'il s'agit de l'espace des restrictions à $\Sd$ de polynômes harmoniques homogènes de degré $\ell$ définis sur $\R^{d+1}$).
  
  
• Si $d \geqslant 2$, on désigne par $\alpha_\ell$ la dimension de ${\mathbb H}^d_{\ell}$. On sait que $\alpha_0=1$, $\alpha_1=d+1$ et que pour tout $\ell \geqslant 2$ $$ \begin{array}{rcl} \alpha_\ell &=&\dps{ \combi{d+\ell}{d} - \combi{d+\ell-2}{d} } \\ &=&\dps{ \combi{d+\ell-1}{\ell} + \combi{d+\ell-2}{\ell-1}.} \end{array} $$
  
  
• Quand $d=1$, on pose $\alpha_\ell=1$ pour tout $\ell \geqslant 0$.
  
  
• On note $\pi$ la projection stéréographique définie sur $\Sds=\Sd - \{(0,\cdots, 0, 1)$ à valeurs dans $\R^d$ par: $$ \begin{array}{rcl} \pi \;: \; \Sds&\longrightarrow&\R^d\\ {\xi} = (\xi_1, \cdots, \xi_{d+1})&\longmapsto& (\frac{\xi_{1}}{1-\xi_{d+1}},\frac{\xi_{2}}{1-\xi_{d+1}},..., \frac{\xi_{d}}{1-\xi_{d+1}}). \end{array} $$ Son application inverse est donnée par $$ \begin{array}{rcl} \pi^{-1} \;: \; \R^d&\longrightarrow&\Sds\\ x&\longmapsto& \left(\frac{2x_1}{\|x\|^{2}+1} \cdots, \frac{2x_d}{\|x\|^{2}+1}, \frac{\|x\|^{2}-1}{\|x\|^{2}+1} \right). \end{array} $$
  
• On note $(\YY_{\ell,m})_{\ell \geqslant 0, 1 \leqslant m \leqslant \alpha_\ell}$ la base orthogonale (dans $L^2(\Sd)$) de ${\mathbb H}^d_{\ell}$.
  
  

On est maintenant en mesure de définir les fonctions $(\ww_{\ell,m})$ selon la dimension

• Si $d \geqslant 2$, alors pour tous $\ell \geqslant 0$ and $1 \leqslant m \leqslant \alpha_\ell$, $\ww_{\ell,m}$ est définie sur $\R^d$ par: $$ \ww_{\ell,m}(x) = \left(\frac{2}{|x|^2+1}\right)^{\frac{d-2}{2}} \YY_{\ell,m} (\pi^{-1}(x)), \; x \in \R^d. $$
• si $d=1$ (on a alors $\alpha_\ell = 1$ pour tout $\ell$), on pose $$ \ww_{\ell,1}(x) = (-1)^\ell B_\ell (x^2+1)^{1/2} \cos((\ell+1) \arctan(x) + \ell\pi/2) , \; x\in \R, $$ ou de manière équivalente: $$ (-1)^\ell \ww_{\ell, 1} (x) = \left\{ \begin{array}{lll} \dps{ B_\ell \sqrt{1+x^2} T_{\ell+1} (\frac{1}{\sqrt{x^2+1}})} & \mbox{ si $\ell$ est pair}, \\ \dps{ B_\ell x U_{\ell}(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}})} & \mbox{ si $\ell$ est impair}. \end{array} \right. $$ Ici $(B_\ell)$ désignent les constantes de normalisation $$ B_0 = 1 \; \mbox{ et } B_\ell = \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{\ell(\ell+2) \pi}} \mbox{ pour } \ell \geqslant 1. $$

Je vais par la suite énumérer quelques (magnifiques) propriétés de ces fonctions. Ces propriétés permettront de comprendre facilement l'utilité de ces fonctions et le potentiel qu'elles offrent dans la résolution d'équations aux dérivées partielles en domaines non bornés.

Observons d'abord, qu'en dépit de leur expression en apparence complexe, ces fonctions sont des fonctions rationelles ou quasi-rationelles, c'est-à-dire elles sont, à un facteur près, des quotients de polynômes de plusieurs variables (avec de plus un dénominateur très simple).
Illustrons ce point là.


Par simplicité, on supposera désormais que $d \geqslant 2$. Ces propriétés resteront vraies quand $d=1$.

Définition On suppose que $d \geqslant 2$. Pour tout entier $N \geqslant 0$, on note $H^d_N$ l'espaces des fonctions de la forme $$ v(x) = \sum_{k=0}^N \frac{p_k(x)}{(\|x\|^2+1)^{(2k+d-2)/2}}, \; x \in \R^d, $$ où, pour tout $k \leqslant N$, $p_k$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à $k$.

On a $$ H^d_0 \subset H^d_1 \subset H^d_2 \subset \cdots \subset H^d_N \subset \cdots $$ On montre facilement la formule $$ {\rm dim}\, H^d_N = \dps{\combi{d+N}{d} + \combi{d+N-1}{d} }. $$
et la formule un peu surprenante mais déterminante pour la suite: $$ {\rm dim} \, H^d_N = \sum_{\ell=0}^N \alpha_\ell. $$ On a maintenant la proposition importante qui illustre, en particulier, la nature des fonctions $(\ww_{\ell, m})$:

Proposition:
La famille de fonctions $(\ww_{\ell, m})_{0 \leqslant \ell \leqslant N, \; 1 \leqslant m \leqslant \alpha_\ell} $ est une base de $H^d_N$.

Autres propriétés:

• Les fonctions $(\ww_{\ell,m})$ sont les fonctions propres d'un laplacien pondéré. En effet, pour tous $\ell \geqslant 0$ et $1\leqslant m \leqslant \alpha_\ell$ on a $$ -\Delta \ww_{\ell,m} = \lambda_\ell (|x|^2+1)^{-2} \ww_{\ell,m}, $$ où (ici $d \geqslant 2$) $$ \lambda_\ell = 4 \ell(\ell+d-1)+d (d-2). $$
• La famille $(\ww_{\ell,m})_{\ell \geqslant 0, 1\leqslant m \leqslant \alpha_\ell}$ est orthogonale pour un produit scalaire $L^2(\R^d)$ pondéré, ou plus exactement: pour tous $(\ell, m) \ne (j, s)$ alors $$ \int_{\R^d} \frac{\ww_{\ell,m} (x) \ww_{j, s}(x) } {(\|x\|^2+1)^2} dx = 0, \; $$
• La famille des gradients $(\nabla \ww_{\ell,m})_{\ell \geqslant 0, 1\leqslant m \leqslant \alpha_\ell}$ est orthogonale pour le produit scalaire $L^2(\R^d)$, c'est-à-dire: pour tous $(\ell, m) \ne (j, s)$ alors $$ \int_{\R^d} \nabla \ww_{\ell,m}(x) . \nabla \ww_{j, s} (x) dx = 0. $$
  

On peut énumérer d'autres propriétés de ces fonctions (dont certaines restent à explorer!).
La conséquence la plus importante de la découverte de ces fonctions est la conception d'une nouvelle méthode numérique particulièrement efficace pour résoudre des équations aux dérivées partielles elliptiques en domaines non bornés (et notamment dans tout l'espace).

Donnons un peu plus de détails sur ces fonctions dans les cas 2D ($d=2$) et 3D ($d=3$):

• Le cas bidimensionnel: quand $d=2$ on a $\alpha_\ell = 2 \ell + 1$ pour tout $\ell \geqslant 0$, et on peut écrire (en ré-indexant les fonctions $\ww$ autrement): $$ \ww_{\ell, m} (x) = Y_{\ell,m} (\pi^{-1}(x)), 0 \leqslant m \leqslant \ell, \; \ww_{\ell, \ell + m} (x) = Z_{\ell,m} (\pi^{-1}(x)), \; 1 \leqslant m \leqslant \ell, $$ où $Y_{\ell,m} $ et $Z_{\ell,m} $ sont les harmoniques sphériques réelles usuelles définies en termes de coordonnées sphériques sur $\Stwo$ comme suit: $$ \begin{array}{rcl} Y_{\ell, 0}(\theta, \phi) &=& \sqrt{\dps{\frac{2 \ell+1}{2\pi}}} P_\ell^0 (\cos \theta), \; \ell \geqslant 0, \; \\ Y_{\ell, j} (\theta, \phi) &=& \sqrt{\dps{\frac{(2 \ell+1) (\ell-j)!}{2\pi (\ell+j)!}}} P_\ell^j (\cos \theta) \cos(j \phi), \;1 \leqslant j \leqslant \ell, \\ Z_{\ell, j} (\theta, \phi) &&= \sqrt{\dps{\frac{(2 \ell+1) (\ell-j)!}{2\pi (\ell+j)!}}} P_\ell^j (\cos \theta) \sin(j \phi), \;1 \leqslant j \leqslant \ell. \end{array} $$ où $(P_\ell^j)$ sont les fonctions de Legendre associées définies par $$ P_\ell^j (t) = \frac{(-1)^j}{2^\ell \ell!} (1-t^2)^{j/2} \frac{d^{\ell+j}}{dt^{\ell+j}} (1-t^2)^\ell, \; 0 \leqslant j \leqslant \ell. $$
• Le cas tridimensionnel: quand $d=3$ on a (en ré-indexant les fonctions $\ww$ autrement): $$ \begin{array}{rcl} \ww_{\ell , k, j} (x) &=& \dps{ \left( \frac{2}{\|x\|^2+1}\right)^{\frac{1}{2}} U_{ \ell k j} (\pi^{-1}(x)), 0 \leqslant j \leqslant k \leqslant \ell ,} \\ \ww_{\ell, k, k + j} (x) & =& \dps{ \ \left( \frac{2}{\|x\|^2+1}\right)^{\frac{1}{2}} S_{ \ell k j} (\pi^{-1}(x)), \; 1 \leqslant j \leqslant k \leqslant \ell,} \end{array} $$ où $U_{ \ell k j} $ et $S_{ \ell k j} $ sont les harmoniques sphériques réelles définies en termes de coordonnées sphériques sur $\Sthree$ comme suit (ces expressions sont ne sont pas toujours faciles à trouver dans la littérature): \begin{eqnarray} U_{ \ell k j} (x)&=& \dps{ \frac{1}{\sqrt{a_{ \ell , k}} } (\sin \chi)^k T_{ \ell +1}^{(k+1)} (\cos \chi) Y_{k, j} (\theta, \phi), \; 0 \leqslant j \leqslant k \leqslant \ell }\\ S_{ \ell k j} (x) &=& \dps{ \frac{1}{\sqrt{a_{ \ell , k}}} (\sin \chi)^k T_{ \ell +1}^{(k+1)} (\cos \chi) Z_{k, t} (\theta, \phi), 1 \leqslant j \leqslant k \leqslant \ell }\; \end{eqnarray} avec $$ a_{\ell, k} = \frac{(\ell+1)\pi}{2} \frac{(k+\ell+1)!}{(\ell-k)!}. $$