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La transformation de Fourier est une isométrie de certains espaces de Sobolev à poids

L'analyse des équations aux dérivées partielles dans tout l'espace conduit parfois à s'intéresser à l'image par transformation de fonctions satisfaisant les conditions $$ \def\rhr{\langle x \rangle} \int_{{\mathbb R}^d} \rhr^{ p s(\alpha)} |\partial^\alpha u|^p dx < +\infty, \mbox{ pour tout } \alpha \in {\mathscr M}, $$ où ${\mathscr M} \subset {\mathbb N}^d$ est un ensemble fini de multi-indices, $s$ une application de ${\mathscr M}$ dans ${\mathbb N}$ et $p > 1$ un réel. Ici on a noté $|x| = (x_1^2 +...+x_d^2)^{1/2}$ et $\rhr = (|x|^2+1)^{1/2}$ pour tout $x = (x_1,...,x_d) \in {\mathbb R}^d$.
Par exemple, quand $$ {\mathscr M} = \{\alpha \in {\mathbb N}^d \;|\; |\alpha| \leqslant k \}, \mbox{ et } \; s(\alpha) = \ell\; \mbox{ pour tout } \alpha \in {\mathscr M}, $$ cet espace est composé des fonctions vérifiant (au sens des distributions): $$ \int_{{\mathbb R}^d} (|x|^2+1)^{\ell p/2} |\partial^\alpha u|^p dx < +\infty, \mbox{ pour tout } |\alpha| \in r, $$ (ici $r$ un entier, $\ell$ un réel et $|\alpha| = \alpha_1 + ... +\alpha_d$ pour tout $\alpha = (\alpha_1,...,\alpha_d) \in {\mathbb N}^d$). Cette définition s'étend facilement à des valeurs réelles réelles de $r$. Dans la suite, on notera $V^{r, p}_\ell({\mathbb R}^d)$ cet espace (avec $r \geqslant 0$ et $\ell \geqslant 0$ deux réels).

On se pose la question suivante:

Quelle est l'image par transformation de Fourier d'un tel espace?

Cette question s'est avérée extrêmement intéressante et ayant de multiples ramifications.

Je me contente ici d'énumérer deux des résultats obtenus. Ils sont un cas en particulier d'un résultat bien plus général.

Théorème (T. Z. Boulmezaoud) Soient $r, \, \ell$ et $p$ be trois réels avec $\ell \geq 0$, $r \geq 0$ et $ 1 < p \leqslant 2$. Alors, on a l'injection $$ {\mathscr F}(W^{r, p}_\ell({\mathbb R}^d)) {\hookrightarrow} W^{\ell, p^\star}_r({\mathbb R}^d), $$ où $p^\star$ désigne le conjugué de $p$ (vérifiant $1/p+1/p^\star = 1$). Si de plus $p = 2$ alors $$ {\mathscr F}(V^{r, 2}_\ell({\mathbb R}^d) = V^{\ell, 2}_r({\mathbb R}^d). $$ En particulier pour tout réel $r \geqslant 0$, l'espace $V^{r, p}_r({\mathbb R}^d)$ est invariant par transformation de Fourier.

Ce résultat généralise en particulier l'inégalité de Hausdorff-Young inequality: $$ \|{\widehat{u}} \|_{L^{p^\star}({\mathbb R}^d)} \leqslant (2\pi)^{d(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})} \|u\|_{ L^{p}({\mathbb R}^d)} $$ valable pour toute fonction $u \in L^p({\mathbb R}^d)$, $1 \leqslant p \leqslant 2$.

J'ai démontré une version plus générale de ce résultat. Cette version générale permet en particulier de caractériser l'image par transformation de Fourier d'autres espaces de Sobolev à poids, comme par exemple l'espace usuel: $$ \begin{array}{rcll} {{W_\alpha^{m, p}({\mathbb R}^d)}} &=& \{ v \in {\mathscr D}'({\mathbb R}^d); & \rhr^{\alpha - m} v \in L^p({\mathbb R}^d), \\ & & & \\ && & \rhr^{\alpha - m + 1} \partial_i v \in L^p({\mathbb R}^d), \\ & & &. \\ & & &. \\ & & &. \\ &&& \rhr^\alpha \partial^{\beta} v \in L^p({\mathbb R}^d), \; \forall |\beta| = m\}, \end{array} $$ où $m \in {\mathbb N}$, $1\leqslant p \leqslant \infty$ et $\alpha \in {\mathbb R}$.


Revenons au théorème ci-dessus. On en a déduit que l'espace $V^{k}_k({\mathbb R}^d)$ est invariant par transformation de Fourier ${\mathscr F}$ pour tout entier $k \geqslant 0$.
Une autre question subsidiaire à ce résultat vient directement on peut soupçonner que ${\mathscr F}$ est peut-être une isométrie de cet espace doté à sa norme: $$ \|u\|_{ V^{k}_k({\mathbb R}^d) }= (\sum_{|\alpha| \leqslant m} \| \rhr^{m} \partial^\alpha u\|^2_{L^2({\mathbb R}^d)})^{1/2}? $$ En d'autres termes, a-t-on $$ \forall u \in V^{k, 2}_{k}, \; \|{\widehat{u}}\|_{V^{k, 2}_{k}({\mathbb R}^d)} =\|u\|_{V^{k, 2}_{k}({\mathbb R}^d)} ? $$ On peut vérifier que

• $k=0$: la réponse oui (c'est l'identité de Plancherel)
• $k=1$: c'est encore oui.
• $k \geqslant 2$: la réponse est non en général.

Au regard de cette réponse, on peut se poser encore une autre question: existe-t-il une autre norme $$ \|u\|_{{\bf ?}}= \sum_{\ell= 0}^k \sum_{m= 0}^k \sum_{|\alpha| = m} {\bf ?}\int_{{\mathbb R}^d} \rhr^{2\ell}| \partial^\alpha u|^2\;? $$ définie sur $V^{k}_k({\mathbb R}^d)$, équivalente à la norme $\|.\|_{ V^{k}_k({\mathbb R}^d)}$ ci-dessus et pour laquelle ${\mathscr F}$ est une isométrie, c'est-à-dire telle que $$ \forall u \in V^{{k, 2}}_{k}({\mathbb R}^d), \; \|{\widehat{u}}\|_{{\bf ?}}=\|u\|_{{\bf ?}}\, ? $$ Il s'agit bien évidemment de remplacer les points d'interrogation ${\bf ?}$ par des coefficients de sorte que

• Pour tout $u \in V^{k, 2}_{ k}({\mathbb R}^d)$, on a $$ \|{\widehat{u}}\|_{?}=\|u\|_{?}. $$
• $u \in V^{k, 2}_{k}({\mathbb R}^d) \mapsto \|.\|_{?}$ soit une norme équivalente à la norme $\|.\|_{ V^{k}_k({\mathbb R}^d)}$ ci-dessus.

Dans la publication

Tahar Z. Boulmezaoud, Fourier transformation is an isometry on some weighted Sobolev spaces", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 99 (2013), P. 489-508.

on donne une réponse positive et constructive à la question:

Théorème (Boulmezaoud 2013)
Soit $k$ un entier naturel. Il existe une suite finie d'entiers $w=(\omega_{s, m})$ indépendante de la dimension $d$ telle que l'application $$ u \mapsto \|u\|_{V^k_k({\mathbb R}^d), w} = ( \sum_{s =0}^{k} \sum_{m=0}^{k} \omega_{s, m} \sum_{|\alpha| = m} \frac{m!}{\alpha!} \int_{{\mathbb R}^d} \rhr^{2\ell} |\partial^\alpha u|^2 dx )^{1/2} $$ soit une norme $V^{k, 2}_{k}({\mathbb R}^d)$ équivalente à la norme $\|.\|_{ V^{k}_k({\mathbb R}^d)}$ et telle que $$ \forall u \in V^{k}_k({\mathbb R}^d), \; \; \|{\widehat{u}}\|_{V^k_k({\mathbb R}^d), w} = \|u\|_{V^k_k({\mathbb R}^d), w}. $$
D'autres familles d'espaces à poids invariants par transformation de Fourier
Les espaces $V^{k}_k({\mathbb R}^d)$ ne sont pas les seuls espaces invariants par transformation de Fourier. On en trouve une infinité d'autres qu'on a caractérisés. A titre d'exemple, on montre que l'espace suivantes est aussi invariant: $$ X^{m}({\mathbb R}^d) = \{ v \in {\mathscr D}'({\mathbb R}^d); \rhr^{m-|\mu|} \partial^\alpha v \in L^2({\mathbb R}^d), \forall |\alpha| \leqslant m\}. $$