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Surprises en analyse convexe

Dans un travail récemment publié avec Philippe Cieutat (Laboratoire de Mathématiques de Versailles) et Aris Daniilidis (Centro de Modelamiento Matemático, Universidad de Chile), on s'est intéressé au comportement asymptotique de systèmes gradients d'ordre 1 et d'ordre 2 pour des fonctions convexes. Parmi les résultats obtenus, il y a deux théorèmes très suprenants (mais simples à comprendre). Commençons par le premier.

$\def\x{x} \def\R{\mathbb{R}}$ Théorème 1 (Boulmezaoud-Cieutat-Daniilidis): Soit $H$ un espace de Hilbert (ou \(\R^n\) par exemple) et $\psi_1$, \(\psi_2\) deux fonctions de \(H\) dans \(\R\) convexes, minorées et suffisamment régulières (par exemple de classe \(C^2\)), telles que $$ \forall x \in H, \; \; \|\nabla \psi_1(\x)\| = \|\nabla \psi_2(\x)\|. $$ Alors, \(\psi_2-\psi_1\) est une fonction constante.


Autrement dit, pour deux fonctions convexes minorées, pas besoin d'avoir une égalité de gradients pour avoir l'égalité des fonctions à une constante additive près. L'égalité des normes suffit!

Le caractère minoré des fonctions peut-être remplacé par l'hypothèse suivante légèrement plus faible $$ \inf_{x \in H} \|\nabla \psi_i(\x)\|=0, \; i=1, 2. $$
Ce théorème peut être vu comme un résultat d'unicité pour l'équation eikonale: $$ \|\nabla \psi(x)\|^2 = f(x), \; \; x \in H. $$ A titre d'exemple, on peut vérifier ce résultat très simplement dans le cas de fonctions quadratiques de la forme $$ \psi_i(x) := \frac{1}{2} x^T A_i x - b_i^t x, i = 1, 2. $$ (cela constitue un bon exercice intéressant pour des étudiants en Licence ou en classes préparatoires).

Par ailleurs, nous proposons une conjecture généralisant de ce résultat quand les fonctions ne sont pas nécessairement différentiables (mais restent convexes minorées).

Un second résultat surprenant obtenu dans ce même article est un nouveau critère de convexité pour les fonctions régulières:

Théorème 2 (Boulmezaoud-Cieutat-Daniilidis) Soit \(H\) un espace de Hilbert (ou \(\R^n\) par exemple) et \(f\) une fonction de \(H\) dans \(\R\) de classe \(C^2\) minorée. On suppose que \(x \mapsto \|\nabla f(x)\|^2\) est convexe. Alors \(f\) est convexe.