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Une conjecture en analyse convexe
(Boulmezaoud-Cieutat-Daniilidis)

Dans l'article

T. Z. Boulmezaoud, Ph. Cieutat and A. Daniilidis, Gradient Flows, Second-Order Gradient Systems and Convexity, SIAM Journal on Optimization, vol. 28 (2107), p. 2049–2066.

on énonce la conjecture suivante

Conjecture (Boulmezaoud-Cieutat-Daniilidis): Soit \(H\) un espace de Hilbert réel et \(\psi_1\), \(\psi_2\) deux fonctions convexes minorées de \(H\) dans \({\mathbb R}\) vérifiant la propriété suivante $\def\x{x}$ $$ \forall \x \in H, \; \inf_{ u \in \partial \psi_1(\x)} \|u\| = \inf_{ u \in \partial \psi_2(\x)} \|u\|. $$ Alors \(\psi_1-\psi_2\) est une fonction constante.

On a démontré dans le même article que cette conjecture est vraie quand les deux fonctions \(\psi_1\) et \(\psi_2\) sont supposées régulières (de classe $C^2$ par exemple): cliquez ici pour plus de détails.

Elle se démontre facilement en dimension 1: voir ce même article.

Observons que cette conjecture généralise aussi un célèbre résultat de R. T. Rockafellar concernant la détermination d'une fonction convexe par sa sous-différentielle: Si \(\psi_1\) et \(\psi_2\) sont deux fonctions définies d'un espace Banach \(E\) à valeurs dans ${\mathbb R} \cup \{+\infty\}$, propres, semi-continues inférieurement et vérifiant $$ \forall \x \in E, \; \psi_1(\x) = \psi_2(\x), $$ alors \(\psi_1-\psi_2\) est une fonction constante
(R. T. Rockafellar. Characterization of the subdifferentials of convex functions, Pacific Journal of Mathematics, 17, 1966, p. 497-–510).